등가정하중법 전략

 

등가 정하중 법을 전략

 

충돌해석은 대표적인 비선형 동적 해석으로 구조물 사이에 접촉 비선형이 크고 대변형이 발생하며 이러한 충돌해석을 대상으로 하는 비선형 동적 응답 구조 최적설계는 설계 변수의 작은 변화에 응답의 변화가 크게 발생하며 따라서 설계 주기를 반복하여 수렴하는 등가 정하중 법은 문제에 따라 설계 변수가 발산(divergence) 또는 진동(oscillation)하는 경우가 발생하여 수렴 조건을 만족하지 못하는 경우가 있다.

 

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이와 같은 경우 이동제한 전략(move limit strategy)을 사용하여 수렴성을 향상할 수 있으며 등가 정하중 법의 이동제한 전략은 선형 정적 응답 구조 최적설계에서 미리 정의한 이동제한 인자 를 이용해 설계 변수의 상한치와 하한치를 좁혀 수렴성을 높이는 방법이며 이동제한 전략은 다음과 같이 설계 변수의 상 하 한치를 계산하며 여기서 이동제한 인자는 0과 1 사이의 값으로 충돌 문제의 특성에 따라 설계자가 미리 정해야 하는 값이며 일반적으로 충돌 문제는 대변형이 빈번하게 발생하기 때문에 를 0.1 수준으로 정하면 충돌 문제의 수렴성을 향상할 수 있으며 그러나 크게 좁아진 설계 변수의 상 하한치로 인해 수렴하는데 많은 충돌해석이 필요할 경우가 있다.

 

 

따라서 설계의 제한조건을 크게 만족한 문제에서는 설계 주기의 초반에 의 크기를 0.5 이상으로 정하여 설계를 진행한 후 위배율의 변화를 살피어 크기를 줄이는 것이 수렴성 향상에 효과 적이며 또한 설계 주기를 진행함에 따라 특정 설계 변수의 임계에서 충돌 문제의 특성이 구조물의 파단 좌굴같이 발생의 유무가 극명하게 구분이 되는 문제가 있으며 이러한 경우 파단 좌굴 등의 현상을 피하기 위해 해당 설계 주기의 이전 설계 주기로 돌아가 줄여 새로운 설계를 찾는 것이 효과적이며 충돌해석은 구조물 사이에 접촉 비선형이 빈번하게 발생하며 Figure 3.1은 비선형 동적 시스템의 마스터면(master surface) M과 슬레이브면(slave surface) S를 보여준다.

 

 

마스터-슬레이브 접촉 알고리즘을 기반으로 슬레이브면의 절점 (node)은 마스터면을 침투(penetration) 하지 못하게 경계에서 접촉 힘(contact force) 이 발생하며 반면에 선형 정적 시스템은 접촉 비선형을 고려할 수 없다. 따라서 선형 정적 응답 구조 최적설계에서 근본적으로는 접촉 비선형을 고려할 수 없으며 등가 정하중을 외력으로 하는 선형 정적 응답 구조 최적설계 과정에서 접촉 비선형을 고려하지 못하기 때문에 내부 루프에서 구조물이 교차하여 침투하는 현상이 발생하며 이러한 현상은 비선형 동적 시스템에서 발생하지 않기 때문에 최적 설계가 바른 방향으로 진행하는 것을 방해하며 2011년 Yi는 등가 정하중 법을 이용한 비선형 정적 응답 구조 최적설계에 변위 제한조건을 이용하여 불침 투 조건을 제안했다.

 

 

해석에서 접촉이 발생한 인접한 두 절점을 선정하여 선형 정적 응답 구조 최적설계에서 선정한 두 절점의 거리가 양수가 되도록 변위 제한조건을 적용했으며 경계면에서 발생하는 접촉 힘과 같은 의미는 아니지만 비선형 정적 해석의 불침 투 현상을 선형 정적 응답 구조 최적설계에서 간접적인 방법으로 다루었고 연구에서 제안한 방법은 소규모의 2차원 문제로 접촉이 단일 방향으로 발생하기 때문에 실제 여러 방향에서 발생하는 불침 투 조건을 고려할 필요가 있으며 본 연구에서는 선형 정적 응답 구조 최적설계 과정에서 3차원 기반의 불침 투 조건 제안하며 Figure 3.2는 두 층으로 이루어진 쉘(shell) 유한요소로 인접한 마스터면과 슬레이브면을 의미하며 앞서 언급한 것처럼 슬레이브면의 절점은 마스터면을 침투할 수 없다.

 

 

Figure 3.2처럼 마스터면의 한 요소에 위치한 절점 세 개 p1 p2 p3를 선정하고 이 절점 세 개와 인접한 슬레이브면에서 절점 한 개 p4를 정의하며 이러한 점들은 접촉이 발생하는 영역에 정의하고 마스터면의 유한요소에서 절점 세 개 인접한 슬레이브면의 유한요소에서 절점 한 개를 선택하며 해석의 종류에 따라 선택하는 영역은 다르지만 설계 변수로 할당한 구조물을 대상으로 하며 이렇게 선택한 절점은 다음과 같이 표현할 수 있으며 여기서 tM과 tS는 각각 마스터면과 슬레이브면의 두께이며 일반적으로 충돌 해석의 조건에 따라 접촉력이 발생하는 두께를 일괄적으로 정하는 경우도 있기 때문에 충돌해석의 조건에 따라 두께를 반영하여 적용해야 하며 또한 설계 주기를 반복함에 따라 마스터면과 슬레이브면의 두께를 반영하여 식 (3.10)의 우변인 제한조건을 갱신해야 하며 앞에서 언급하였듯이 평면의 방정식을 구성하기 위한 마스터면의 절점 세 개와 평면의 방정식과의 거리를 산출하기 위한 인접한 슬레이브면의 절점 한 개는 충돌 후 형상 즉 충돌해석을 기반으로 선정하며 다시 말해 충돌해석을 기반으로 비선형 시스템에서 절점을 선택하고 이에 해당하는 선형 시스템의 절점을 이용하여 변위 제한조건으로 불침 투 조건을 적용하는 것이며 이 조건은 설계 주기를 반복함에 따라 충돌해석에서 변형된 형상의 경향이 크게 변하지 않는 문제에 적용이 가능하다.

 

 

따라서 간접적으로 선형 정적 응답 구조 최적설계에서 불침 투 조건을 적용할 수 있으며 네 개의 절점을 정의하는 것은 Figure 3.3을 예로 설명하며 Figure 3.3은 자동차 측면 충돌해석의 충돌 후(post-crash) B-필라의 형상이며 B-필라는 내측과 외측으로 구성하며 외측 B-필라는 마스터면으로 내측 B-필라는 슬레이브면으로 정의하며 충돌해석에서 변형 후 형상을 기준으로 외측 B-필라에서 평면의 방정식을 구성하기 위한 절점 세 개를 선택하고 인접한 내측 B-필라에서 거리를 산출하기 위한 절점 한 개를 선택하며 이렇게 네 개의 절점이 한 쌍을 의미하고 Figure 3.3에서 총 세 쌍이 정의된 것을 보여준다.

 

 

총정리를 하자면 다시 설명하며 일반적으로 충돌해석의 접촉 알고리즘은 마스터면과 슬레이브면의 모든 절점을 대상으로 접촉 비선형을 정의하며 선형 정적 구조 최적설계의 과정에서도 동일하게 적용이 가능하나 불침 투 조건은 제한조건을 의미하기 때문에 모든 절점을 대상으로 고려하면 최적해를 찾아가는데 어려움이 발생하며 따라서 Figure 3.3처럼 충돌해석 후 형상에서 변형이 크게 발생한 영역 또는 구조물이 겹쳐진 주요 영역에서 선택해야 한다는 것이다.